Предельный переход под знаком функции

Свойства пределов

предельный переход под знаком функции

Замечание. обратное не верно, то есть из ограниченности не следует сходимость. Теорема о предельном переходе в неравенстве. В этой статье описан предельный переход в неравенствах - принцип двустороннего ограничения, теорема о двух милиционерах, теорема сжатия, . Предельный переход под знаком интеграла. Например, если функции fn(x) определены на отрезке [0, 1] следующим образом.

Сходимость и огранниченность. Предельный переход в неравенстве

Эту теорему также называют теоремой Лебега о мажорированной сходимости. Теорема Лебега о монотонной сходимости теорема лабораторной работы также является теоремой о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Тогда функция x lim x является интегрируемой на и lim x d x lim x d x. Тогда если существует такое положительное число M, что 5 3 x d x.

M для всех N, то почти всюду на существует конечный предел lim x xфункция интегрируема на и x d x lim x d x.

4. Предельный переход под знаком интеграла

З а д а ч и В задачах 3 рассматривается только линейная мера Лебега. Вычислим предел для остальных точек рассматриваемого отрезка: Так как линейная мера Лебега множества [0,] Q равна нулю, то множество точек, в которых последовательность не сходится к нулю на отрезке [0,], имеет меру нуль. Проверить выполнение условий теоремы Лебега о монотонной сходимости и теоремы Б. Леви для последовательности функцийзаданных на отрезке [0,].

предельный переход под знаком функции

Можно ли утверждать, что 5 5 lim x dx lim x dx? Ясно, что 0 при [0,]. Проверим, является ли последовательность монотонной.

предельный переход под знаком функции

Проверим выполнимость условий теоремы Б. В силу аддитивности интеграла имеем I x dx dx dx [ 0, ] [ 0, ] ], ] 3.

Предел числовой последовательности. Часть 2.

Поэтому не существует такого M, для которого I M при всех N. Леви к данной последовательности не применима. Найти и сравнить интегралы. В силу аддитивности интеграла имеем lim d lim d d d [ 0, ] [, ] [ 0, [ ], ] lim d d 0 l. В этой теореме, в отличие от классических теорем о предельном переходе, последовательность функций точки сходится всюду.

Применение столь сильного вида сходимости по сравнению с обычными для теории интеграла сходимостью почти всюду и сходимостью по мере представляется значительным недостатком теоремы Витали-Арешкина. Заметим также, что как и в теореме Витали, в теореме Витали-Арешкина используется понятие равностепенной абсолютной непрерывности последовательности неопределённых интегралов относительно последовательности мер.

Основной целью диссертации является, во-первых, найти условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей функций множества; во-вторых, ослабить в теореме Витали-Арешкина условие сходимости последовательности функции точки всюду.

Соответственно, решению вытекающих отсюда задач посвящены главы 1 и 2 диссертации. В главе 1 изучены условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Этот вопрос изучался в работах В. Аля-кина [6], [7] и В. Климкина [27], [29], [30]. Получить условие равностепенной абсолютной непрерывности, не накладывая дополнительных условий, невозможно.

Это показывает уже следующий простейший пример: В наиболее ранней работе [27], посвященной данному вопросу, В. В дальнейшем в работах В. Климкина использовалось понятие диагональности последовательности функций множества, которое можно рассматривать, как обобщение этого условия.

предельный переход под знаком функции

В диссертации показано, что последовательность функций множества является диагональной тогда и только тогда, когда диагональной является последовательность их супремаций полных вариаций, если функции множества аддитивны. Введено понятие слабой диагональности последовательности функций множества, с использованием которого получен критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер, значительно усиливающий ранее известный критерий Климкина.

Исследованы некоторые свойства диагонально непрерывных последовательностей. С использованием понятия диагональной непрерывности последовательности мер получен ещё один критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Далее — некоторое кольцо множеств. Конечно-аддитивную функцию множества будем называть мерой. Счётно-аддитивную функцию множества будем называть счётно-аддитивной мерой. Неотрицательную монотонную полуаддитивную функцию множества будем называть субмерой.

  • Основные теоремы о пределах
  • Предельный переход в неравенствах
  • ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

Клим-кина были получены некоторые условия равностепенной абсолютной непрерывности, в частности, следующие две теоремы.

В диссертации доказаны следующие теоремы. Далее в диссертации введено новое понятие слабой диагональпости последовательности функций множества. Ранее аналогичный критерий был получен В.

Предельный переход в неравенствах: теоремы, формулы и примеры решения

Это является существенным недостатком теоремы Климкина. Алякина [7] было введено определение диагональной непрерывности последовательности субмер. В диссертации принято похожее, но более общее определение, к тому же накладывающее на последовательность функций множества более слабые условия. С использованием понятия диагональной непрерывности в диссертации получен следующий критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Построен контрпример пример 1. Также построен контрпример пример 1. В главе 2 рассмотрен вопрос о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, точнее — об усилении теоремы Витали-Арешкина. Далее X — некоторое пространство, Т — некоторая сг-алгебра с единицей X.

Рассматриваемые меры действуют из Т в [0, -f-oo и принимают на пустом множестве значение 0.

предельный переход под знаком функции

Вторая теорема заменяет в теореме Витали-Арешкина условие сходимости всюду последовательности подынтегральных функций более слабым условием сходимости последовательности подынтегральных функций по мере относительно каждой из мер последовательности Теорема 2.

Получены достаточные условия, при выполнении которых из равномерной непрерывности сверху на пустом множестве семейства таких функций следует равномерная непрерывность семейства их супремаций.